Parabola (拋物線) 是甚麼？

【雖然以下既內容係 out of syllabus，但其實中間應用既只係將一d within syllabus 既知識拓展多少少，Jacky Sir 本人中二/三都有學呢d，所以大家高中生應該都冇問題既~ 即管試下睇下吧~~~】

係 Maths Core 我地成日都會講 parabola，但究竟 parabola 係咩黎既呢？我地經常話 $y=ax^{2}+bx+c$ (where $a$, $b$ and $c$ are real constants with $a\neq 0$ 既 graph 係一條 parabola，但…… 其實我地開口埋口講既 parabola 又係咩黎？ 其實數學裡面有一種 curve 叫做 conic sections，即係係一個 double infinite right circular cone 用一塊 plane 黎 cut 出黎既 curve，就好似下圖咁：

Figure 1: A figure showing different types of conic sections

[Source:  Calculus by Douglas F. Riddle, Wadsworth, Inc. 1984.]

當中最後一個 case 就係個 plane 岩岩好 touch 到個 cone 係一條 straight line（下右一）上面，而將呢個 plane translate outward 少少就會出 parabola（上右一）喇！當然，我地 formal d 講既話，就會係個 plane 同 vertical plane 形成既角同個 cone 既 semi-vertex angle 係 equal（semi-vertex angle 即係個 cone 係 apex 道形成既最大既角 $\div 2$）

但呢個 parabola 又有d 咩特別？點解其他既 graph，比如 $y=x^4$ 既 graph 點解就唔係 parabola？

Figure 2: A figure showing the graph of $y=x^{4}$

咁我地就要 investigate 下 parabola 既 properties 喇！

Figure 3: A Figure showing the idea of the situation

係上面個圖道，$O$ 係 double cone 既 apex，$\Pi$ 就係一個同 vertical plane 形成既角同 semi-vertex angle 一樣既 plane，所以就可以 cut 成一條 parabola $p$，裡面既 sphere 就 armarm 好畫到同個 cone（$\Pi$ 向住 $O$ 既 half plane 個邊）touch 而且亦同 $\Pi$ touch 係 point $F$ 既 plane，個 sphere 同個 double cone 既 intersection 係一個 circle $c$，而個 circle lie on 既 plane 我地叫佢做 $\Omega$ 

如果 $P$ 係 $p$ 上面既一個 moving point，而 $A$ 就係 $OP$ 同 $c$ 既 intersection，$B$ 係 $P$ 係 $\Omega$ 上面既 projection，$C$ 係 $P$ 係 $\Pi$ 同埋 $\Omega$ 既 intersecting line（denoted by $l$）上面既 projection

由我地係 3D solids 有關 projection 既知識話比我地聽，$\angle PBA = \angle PBC = 90^{\circ}$。

另外，$\angle PAB$ 同 $\angle PCB$ 都係 semi-vertex angle (by the definition of parabola)，所以：

$$\begin{align*} \angle PAB &= \angle PCB && \text{(proved)} \\ \angle PBA &= \angle PBC && \text{(proved)} \\ PB&=PB && \text{(common side)} \\ \triangle PAB &\cong \triangle PCB && \text{(A.A.S.)} \\ PA &= PC && \text{(corr. sides, ~}\triangle\text{s)} \end{align*}$$

由我地既 tangent properties 可以知道 $PF=PA$，因此我地就知道 $PF=PC$，即即我地搵到 $\Pi$ （parabola $p$ 屬於既 plane）上面既一點 $F$ 同埋直線 $l$ 令到 parabola $p$ 上面既任何一點同 $F$ 以及同 $l$ equidistant，因此呢個就係 parabola 另一個 definition（當然實際上都要調轉再 prove 一次，但由於時間關係，你地都可以自己試下架）：

A parabola is a curve such that there exists a point $F$ and a line $l$ such that every point $P$ lying on the parabola is equidistant to $F$ and to $l$.

咁呢句又點樣帶番落我地平時既 quadratic graph 道啊？咁我地就要用 locus 既方法喇！頭先上面個句正正就係 locus 既句子黎。所以我地就可以 let $P=(x,y)$ 先，而我地就想個 $l$ 係 horizontal，所以我地就 set $P=(a,b)$ 同埋 $y=k$，where $k\neq b$, $a$, $b$ and $k$ are real constants。

$$\begin{align*} \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}&=\sqrt{(x-x)^2+(y-k)^{2}} \\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=(y-k)^{2} \\ (2b-2k)y&=(x-a)^{2}+b^{2}-k^{2} \\ y&=\frac{1}{2b-2k}\left(x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}-k^{2}\right) && (\because k\neq b) \end{align*}$$

咁我地就出到條 parabola 喇！！！

但…… 點解我地叫 parabola 做拋物線既？咁我地就要用下 F.4 上學期既 mechanics 喇！

係 projectile motion (當然係 without air resistance 啦) 裡面，如果一個 object 由 $(0,0)$ 呢個 point 開始擲出，initial velocity 係 $u$，inclination 係 $\theta$，咁我地就有 $$\begin{cases} x = ut \cos\theta \\ y = ut \sin\theta - \frac{1}{2} gt^{2}\end{cases}.$$

由第一條 equation 可知，$t=\frac{x}{u\cos\theta}$，sub. 番落第二條式就見到 $y=x\tan\theta - \frac{gx^{2}}{2\cos ^{2}\theta}$，而因為 $g$、$u$ 同埋 $\theta$ 係拋左個 object 出去已經係 constant，所以 $y$ against $x$ 既 graph 就會係 parabola，所以 parabola 既中文名就係「拋物線」喇！

今日講到咁多，希望大家都會知道大家學緊既 parabola 其實係點黎啦~