2022 DSE Maths 終於過左喇，如果大家想睇下答案都可以睇下以下既 suggested solutions 架！
當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
2022年5月2日星期一
2022年4月19日星期二
DSE Suggested Solutions
由於小卒好似暫時上唔到，所以我 post 埋之前打過嘅 DSE Suggested Solutions 黎呢邊等同學溫書啦~
Maths Core
2021 DSE Paper 1 2021 DSE Paper 2
2020 DSE Paper 1 2020 DSE Paper 2
2019 DSE Paper 1 2019 DSE Paper 2
2018 DSE Paper 1 2018 DSE Paper 2
M1
M2
2021年5月4日星期二
2021 DSE Suggested Solutions
2021 DSE Maths 終於過左喇，如果大家想睇下答案都可以睇下以下既 suggested solutions 架！
當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
2020年10月1日星期四
點樣用 random integers 黎 estimate π？
不如我地試下做少少 experiment 先，求其寫兩個 positive integers，睇下佢地嘅 greatest common divisor（gcd，或者香港學生見開既 H.C.F.）係 1 嘅 probability，比如抽到 $21$ 同 $34$ 就係屬 favourable outcome，抽到 $21$ 同 $35$ 嘅話就唔係一個 favourable outcome。
由於電腦出 random integers 未能做到冇 upper bound 嘅情況，所以我退而求其次，去睇下唔同 upper bound $M$ 嘅結果會係點啦！
|
$M$ |
$100$ |
$10000$ |
$1000000$ |
|
The total number of pairs ($N$) |
$100000$ |
$100000$ |
$100000$ |
|
The number of pairs whose gcd is $1$ ($n$) |
$60949$ |
$60894$ |
$60647$ |
|
The probability of getting a coprime pair
($P=\frac{n}{N}$) |
$0.60949$ |
$0.60894$ |
$0.60647$ |
|
$\sqrt{\frac{6}{P}}$ |
$3.137562119$ |
$3.138978736$ |
$3.145364377$ |
不如我地將呢個 process 各重覆 $30$ 次，睇下會點~eh... 咁熟口面嘅，好似同我地熟悉既 π 好似喎！
|
$M$ |
$100$ |
$10000$ |
$1000000$ |
|
Sample mean of $\sqrt{\frac{6}{P}}$ |
$3.139835545$ |
$3.141452666$ |
$3.142048756$ |
|
Sample standard deviation of $\sqrt{\frac{6}{P}}$ |
$0.004702442$ |
$0.003096638$ |
$0.003385599$ |
哇，真係好似喎！因為宜家每組有 $30$ 個 data，我地可以 assume 佢地係 normal，咁樣只有 $M=100$ 嘅 case 計到嘅 sample mean 係 significant smaller than $\pi$。
究竟點解呢個數字會咁接近 $\pi$ 呢？
我地可以睇下呢個 probability 可以點樣計出黎先~
首先，我地搵兩個數嘅 gcd 首先會搵左呢兩個數嘅 prime factorization（即小學教嘅質因數連乘式），點樣做到兩個數嘅 gcd 係 1？就係佢地唔會同時係 2 嘅倍數、唔會同時係 3 嘅倍數、唔會同時係 5 嘅倍數、唔會同時係 7 嘅倍數…… 即佢地唔會同時係同一個質數嘅倍數；而因為質數 $p$ 嘅倍數係每 $p$ 就會有一個，所以一個數字係質數 $p$ 嘅倍數嘅 probability 就會係 $\frac{1}{p}$，因此兩個數都唔係質數 $p$ 嘅倍數嘅 probability 就會係 $\frac{1}{p^{2}}$；考慮哂個咁多個 prime numbers，就會得到 $$P=\prod_{p\textbf{ prime}}\left(1-\frac{1}{p^{2}}\right)= \left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\times\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\times\left(1-\frac{1}{5^{2}}\right)\times\cdots。$$
跟住我地就可以嘗試爆開上面，因為 $0<\frac{1}{p^{2}}<1$，根據 GS sum to infinity，我地知道 $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^{2}}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{2k}}=1+\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{4}}+\frac{1}{p^{6}}+\cdots，$$ 所以我地可以將上面個 product 寫成 $$\frac{1}{P}=\prod_{p\textbf{ prime}}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{2k}}\right) = \left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{6}}\right) \times \left(1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{6}}\right) \times \left(1+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{5^{4}}+\frac{1}{5^{6}}\right) \times \cdots$$
因為我地小學已經學左嘅 Fundamental Theorem of Arithmetic，即每個整數都可以寫成一個 unique 嘅 prime factorization，我地就會見到其實爆開出黎嘅 terms 都係 $\frac{1}{m^{2}}$，而 $m$ 係任何 integers 嘅樣，而且唔會重覆。比如因為 $12=2^{2}\times 3$，所以 $\frac{1}{12^{2}}$ 就可以由第一個 bracket 揀 $\frac{1}{2^{4}}$、第二個 bracket 揀 $\frac{1}{3^{2}}$ 同埋剩餘嘅 brackets 都揀 $1$ 得出，所以 $$\frac{1}{P}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots。$$
1735 年，數學家 Euler 發現左 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}，$$ 而呢條式就可以幫我地計到 $$P=\frac{6}{\pi^{2}}，$$ 亦因此我地就知道 $$ \pi=\sqrt{\frac{6}{P}} $$ 喇！
如果想知上面條式點黎，我可以下次打番架！
當然同學都可以諗下點解當 $M$ 係細數嘅時候，點解 estimate 出黎嘅 $\pi$ 通常會細過 actual value？
2020年5月3日星期日
2020 DSE Suggested Solutions
2020 DSE Maths 終於過左喇，如果大家想睇下答案都可以睇下以下既 suggested solutions 架！
當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
2019年11月6日星期三
2020 DSE Maths / M1 / M2 Mock Examination
2020 DSE Maths / M1 / M2 Mock Exam 黎喇！！！
今年既 mock exam 同上年一樣，都係會係九展舉行！
全部考試模式均與真實 DSE 一樣，務求令各位同學可以真正體驗 DSE 既考試氣氛同埋睇下自己係 DSE 數學 / M1 / M2 中既不足之處，從而加以改善。
數學必修部分（Mathematics Compulsory Part）
數學延伸部分（Mathematics Extended Part (Modules 1 & 2)）
歷屆 Maths / M1 / M2 Mock Examinations
如有任何查詢，可以以 Whatsapp 聯絡 Jacky Sir：67093450。
今年既 mock exam 同上年一樣，都係會係九展舉行！
全部考試模式均與真實 DSE 一樣，務求令各位同學可以真正體驗 DSE 既考試氣氛同埋睇下自己係 DSE 數學 / M1 / M2 中既不足之處，從而加以改善。
數學必修部分（Mathematics Compulsory Part）
日期： 2019 年 12 月 27 日
時間： 08:45
– 13:00（卷一：09:00 – 11:15；卷二：11:45 – 13:00）
地點： 九龍灣國際展貿中心
註： 卷一設有兩個版本選擇，Jacky Sir 建議目標為 5 或以下的同學可選 Version 1，而目標為5* 或5** 的同學可選 Version 2，兩個版本的分數會以 Paper 2 的分數調節。
註： 模擬考試中最高分的同學可獲 $150書券；第二高分的同學可獲 $100書券；第三高分的同學可獲 $50書券。
數學延伸部分（Mathematics Extended Part (Modules 1 & 2)）
日期： 2019年12月31日
時間： 14:15
– 17:00（考試時間：14:30 – 17:00）
地點： 九龍灣國際展貿中心
註： 模擬考試中最高分的同學可獲 $100書券；第二高分的同學可獲 $50書券。
費用表：
1. 一人報考兩科則視作兩人處理。
2. 連同一位 Jacky Sir 學生可享有額外優惠，詳情請參閱 Jacky Sir 學生的團體報名表格。
|
人數
|
11月15日或之前 Early Bird 八折優惠
|
正價
|
||
|
不購買 2019
DSE Mock Exam Set
|
購買 2019
DSE Mock Exam Set
|
不購買2019
DSE Mock Exam Set
|
購買 2019
DSE Mock Exam Set
|
|
|
1
|
$232
|
$320
|
$290
|
$400
|
|
2
|
$216
|
$304
|
$270
|
$380
|
|
3
|
$200
|
$280
|
$250
|
$350
|
|
4
|
$184
|
$256
|
$230
|
$320
|
|
5
|
$168
|
$232
|
$210
|
$290
|
|
6 – 10
|
$144
|
$208
|
$180
|
$260
|
|
11 – 20
|
$120
|
$184
|
$150
|
$230
|
|
> 20
|
$96
|
$160
|
$120
|
$200
|
歷屆 Maths / M1 / M2 Mock Examinations
2019 DSE Maths / M1 / M2 Mock Examination
2018 DSE Maths / M1 / M2 Mock Examination
2019 DSE Maths / M1 / M2 Mock Examination Set
如有任何查詢，可以以 Whatsapp 聯絡 Jacky Sir：67093450。
2019年8月9日星期五
2019 M2 Q9 只用 Core 方法做既話要點做呢？
原來，2019 M2 卷既 Q9 竟然可以只用 Core 方法做到架，而且考核既知識同 2019 Maths Core Paper I Q19 既差唔多，都係 Quaratics、Transformation of graphs、Coordinate geometry、Mensuration 等，就等我地睇下點做啦！
(a)
Note that $y=\frac{1}{3}\sqrt{12-x^{2}}$ can give $x^{2}+9y^{2}=12$.
On $\Gamma$, when $x=3$, $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Therefore, let $y-\frac{1}{\sqrt{3}}=m(x-3)$ be the equation of $L$, where $m$ is the slope of $L$, i.e. $y=m(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Then, we have $x^{2}+9\left[m(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}\right]^2=12$, which gives $\left(9m^{2}+1\right)x^{2}-\left(54m^{2}-6\sqrt{3}m\right)x+\left(81m^{2}-18\sqrt{3}m-9\right)=0$.
Since $L$ is a tangent to $\Gamma$, we know that in the above equation, we know that in the above equation, $\Delta=0$, implying $\left[-\left(54m^{2}-6\sqrt{3}m\right)\right]^{2}-4\left(9m^{2}+1\right) \left(81m^{2}-18\sqrt{3}m-9\right)=0$ so $3m^{2}+2\sqrt{3}+1=0$. Hence, $\left(\sqrt{3}m+1\right)^{2}=0$ and then $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Hence, the equation of $L$ is $y-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$, i.e. $x+\sqrt{3}y-4=0$.
(b)(i)
Note that $y=\sqrt{4-x^{2}}$ gives $x^{2}+y^{2}=4$.
Substitute $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{4}{\sqrt{3}}$ into the above equation, we have $x^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2}=4$, which implies that $(x-1)^{2}=0$. Hence, $x=1$.
Also, since $1$ is a double root of the equation, we know that $L$ really touches $C$ at $x=1$.
On $C$, when $x=1$, $y=\sqrt{3}$ so the required coordinates are $\left(1,\sqrt{3}\right)$.
(b)(ii)
By solving $x^{2}+9y^{2}=12$ and $x^{2}+y^{2}=4$, we know that $x^{2}=3$ and since $x>0$, we have $x=\sqrt{3}$. Moreover, since $y=\sqrt{4-x^{2}}\geq 0$, we know that $y=1$.
Hence, the required coordinates are $\left(\sqrt{3},1\right)$.
(b)(iii)
Note that the $C$ is in fact a quarter of a circle with centre $(0,0)$ and radius $2$.
Moreover, note that the graph of $y=\sqrt{12-x^{2}}$, where $x\in\left(0,2\sqrt{3}\right)$, denoted by $C'$, is a quarter of a circle with centre $(0,0)$ and radius $2\sqrt{3}$ and this graph can be reduced along the $y$-axis to $\frac{1}{3}$ of the original one to the curve $\Gamma$.
Then, we can use the filling method to find the required area.
Let $O$ be the origin, $P$ be the point $\left(3,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, $Q$ be the point $\left(1,\sqrt{3}\right)$ and $R$ be the point $\left(\sqrt{3},1\right)$.
First, the area of $\triangle OPQ$ is $(3-0)\left(\sqrt{3}-0\right)-\frac{1}{2}(1-0)\left(\sqrt{3}-0\right)-\frac{1}{2}(3-0)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-0\right)-\frac{1}{2}(3-1)\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}\sqrt{3}$.
Second, note that if $\alpha$ is the angle between $OQ$ and the $x$-axis, then $\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{1}$ so $\alpha = 60^{\circ}$ and if $\beta$ is the angle between $OR$ and the $x$-axis, then $\tan\beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$ so $\beta=30^{\circ}$ so $\angle QOR=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. As a result, the area of the circular sector $OQR$ of $C$ can be given by $\pi (2)^{2}\times\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi}{3}$.
Third, note that the region bounded by $\Gamma$, $OP$ and $OR$ can be obtained by reducing a circular sector of the $C'$ along the $y$-axis to $\frac{1}{3}$ of the original one so the area of the former is $\frac{1}{3}$ of the latter. Before the reduction, the coordinates of $P$ and $R$ are $\left(3,\sqrt{3}\right)$ and $\left(\sqrt{3},3\right)$ respectively, denoted by $P'$ and $R'$ respectively. Hence, if $\gamma$ is the angle between $OP'$ and the $x$-axis, then $\tan\gamma=\frac{\sqrt{3}}{3}$ so $\gamma=30^{\circ}$ whereas if $\delta$ is the angle between $OR'$ and the $x$-axis, then $\tan\delta=\frac{3}{\sqrt{3}}$ so $\delta=60^{\circ}$. Hence, $\angle P'OR'=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. As a result, the area of this region can be found by $\pi \left(2\sqrt{3}\right)^{2} \times \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}$.
Consequently, the required area is $\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$.
(a)
Note that $y=\frac{1}{3}\sqrt{12-x^{2}}$ can give $x^{2}+9y^{2}=12$.
On $\Gamma$, when $x=3$, $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Therefore, let $y-\frac{1}{\sqrt{3}}=m(x-3)$ be the equation of $L$, where $m$ is the slope of $L$, i.e. $y=m(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Then, we have $x^{2}+9\left[m(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}\right]^2=12$, which gives $\left(9m^{2}+1\right)x^{2}-\left(54m^{2}-6\sqrt{3}m\right)x+\left(81m^{2}-18\sqrt{3}m-9\right)=0$.
Since $L$ is a tangent to $\Gamma$, we know that in the above equation, we know that in the above equation, $\Delta=0$, implying $\left[-\left(54m^{2}-6\sqrt{3}m\right)\right]^{2}-4\left(9m^{2}+1\right) \left(81m^{2}-18\sqrt{3}m-9\right)=0$ so $3m^{2}+2\sqrt{3}+1=0$. Hence, $\left(\sqrt{3}m+1\right)^{2}=0$ and then $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Hence, the equation of $L$ is $y-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$, i.e. $x+\sqrt{3}y-4=0$.
(b)(i)
Note that $y=\sqrt{4-x^{2}}$ gives $x^{2}+y^{2}=4$.
Substitute $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)+\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{4}{\sqrt{3}}$ into the above equation, we have $x^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2}=4$, which implies that $(x-1)^{2}=0$. Hence, $x=1$.
Also, since $1$ is a double root of the equation, we know that $L$ really touches $C$ at $x=1$.
On $C$, when $x=1$, $y=\sqrt{3}$ so the required coordinates are $\left(1,\sqrt{3}\right)$.
(b)(ii)
By solving $x^{2}+9y^{2}=12$ and $x^{2}+y^{2}=4$, we know that $x^{2}=3$ and since $x>0$, we have $x=\sqrt{3}$. Moreover, since $y=\sqrt{4-x^{2}}\geq 0$, we know that $y=1$.
Hence, the required coordinates are $\left(\sqrt{3},1\right)$.
(b)(iii)
Note that the $C$ is in fact a quarter of a circle with centre $(0,0)$ and radius $2$.
Moreover, note that the graph of $y=\sqrt{12-x^{2}}$, where $x\in\left(0,2\sqrt{3}\right)$, denoted by $C'$, is a quarter of a circle with centre $(0,0)$ and radius $2\sqrt{3}$ and this graph can be reduced along the $y$-axis to $\frac{1}{3}$ of the original one to the curve $\Gamma$.
Then, we can use the filling method to find the required area.
Let $O$ be the origin, $P$ be the point $\left(3,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, $Q$ be the point $\left(1,\sqrt{3}\right)$ and $R$ be the point $\left(\sqrt{3},1\right)$.
First, the area of $\triangle OPQ$ is $(3-0)\left(\sqrt{3}-0\right)-\frac{1}{2}(1-0)\left(\sqrt{3}-0\right)-\frac{1}{2}(3-0)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-0\right)-\frac{1}{2}(3-1)\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}\sqrt{3}$.
Second, note that if $\alpha$ is the angle between $OQ$ and the $x$-axis, then $\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{1}$ so $\alpha = 60^{\circ}$ and if $\beta$ is the angle between $OR$ and the $x$-axis, then $\tan\beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$ so $\beta=30^{\circ}$ so $\angle QOR=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. As a result, the area of the circular sector $OQR$ of $C$ can be given by $\pi (2)^{2}\times\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi}{3}$.
Third, note that the region bounded by $\Gamma$, $OP$ and $OR$ can be obtained by reducing a circular sector of the $C'$ along the $y$-axis to $\frac{1}{3}$ of the original one so the area of the former is $\frac{1}{3}$ of the latter. Before the reduction, the coordinates of $P$ and $R$ are $\left(3,\sqrt{3}\right)$ and $\left(\sqrt{3},3\right)$ respectively, denoted by $P'$ and $R'$ respectively. Hence, if $\gamma$ is the angle between $OP'$ and the $x$-axis, then $\tan\gamma=\frac{\sqrt{3}}{3}$ so $\gamma=30^{\circ}$ whereas if $\delta$ is the angle between $OR'$ and the $x$-axis, then $\tan\delta=\frac{3}{\sqrt{3}}$ so $\delta=60^{\circ}$. Hence, $\angle P'OR'=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. As a result, the area of this region can be found by $\pi \left(2\sqrt{3}\right)^{2} \times \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}$.
Consequently, the required area is $\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$.
2019年6月9日星期日
Parabola (拋物線) 是甚麼？
【雖然以下既內容係 out of syllabus，但其實中間應用既只係將一d within syllabus 既知識拓展多少少，Jacky Sir 本人中二/三都有學呢d，所以大家高中生應該都冇問題既~ 即管試下睇下吧~~~】
係 Maths Core 我地成日都會講 parabola，但究竟 parabola 係咩黎既呢？我地經常話 $y=ax^{2}+bx+c$ (where $a$, $b$ and $c$ are real constants with $a\neq 0$ 既 graph 係一條 parabola，但…… 其實我地開口埋口講既 parabola 又係咩黎？ 其實數學裡面有一種 curve 叫做 conic sections，即係係一個 double infinite right circular cone 用一塊 plane 黎 cut 出黎既 curve，就好似下圖咁：
今日講到咁多，希望大家都會知道大家學緊既 parabola 其實係點黎啦~
係 Maths Core 我地成日都會講 parabola，但究竟 parabola 係咩黎既呢？我地經常話 $y=ax^{2}+bx+c$ (where $a$, $b$ and $c$ are real constants with $a\neq 0$ 既 graph 係一條 parabola，但…… 其實我地開口埋口講既 parabola 又係咩黎？ 其實數學裡面有一種 curve 叫做 conic sections，即係係一個 double infinite right circular cone 用一塊 plane 黎 cut 出黎既 curve，就好似下圖咁：
Figure 1: A figure showing different types of conic sections
[Source: Calculus by Douglas F. Riddle, Wadsworth, Inc. 1984.]
當中最後一個 case 就係個 plane 岩岩好 touch 到個 cone 係一條 straight line（下右一）上面，而將呢個 plane translate outward 少少就會出 parabola（上右一）喇！當然，我地 formal d 講既話，就會係個 plane 同 vertical plane 形成既角同個 cone 既 semi-vertex angle 係 equal（semi-vertex angle 即係個 cone 係 apex 道形成既最大既角 $\div 2$）
但呢個 parabola 又有d 咩特別？點解其他既 graph，比如 $y=x^4$ 既 graph 點解就唔係 parabola？
Figure 2: A figure showing the graph of $y=x^{4}$
咁我地就要 investigate 下 parabola 既 properties 喇！
Figure 3: A Figure showing the idea of the situation
係上面個圖道，$O$ 係 double cone 既 apex，$\Pi$ 就係一個同 vertical plane 形成既角同 semi-vertex angle 一樣既 plane，所以就可以 cut 成一條 parabola $p$，裡面既 sphere 就 armarm 好畫到同個 cone（$\Pi$ 向住 $O$ 既 half plane 個邊）touch 而且亦同 $\Pi$ touch 係 point $F$ 既 plane，個 sphere 同個 double cone 既 intersection 係一個 circle $c$，而個 circle lie on 既 plane 我地叫佢做 $\Omega$
如果 $P$ 係 $p$ 上面既一個 moving point，而 $A$ 就係 $OP$ 同 $c$ 既 intersection，$B$ 係 $P$ 係 $\Omega$ 上面既 projection，$C$ 係 $P$ 係 $\Pi$ 同埋 $\Omega$ 既 intersecting line（denoted by $l$）上面既 projection
由我地係 3D solids 有關 projection 既知識話比我地聽，$\angle PBA = \angle PBC = 90^{\circ}$。
另外，$\angle PAB$ 同 $\angle PCB$ 都係 semi-vertex angle (by the definition of parabola)，所以：
\begin{align*}
\angle PAB &= \angle PCB && \text{(proved)} \\
\angle PBA &= \angle PBC && \text{(proved)} \\
PB&=PB && \text{(common side)} \\
\triangle PAB &\cong \triangle PCB && \text{(A.A.S.)} \\
PA &= PC && \text{(corr. sides, ~}\triangle\text{s)}
\end{align*}
另外，$\angle PAB$ 同 $\angle PCB$ 都係 semi-vertex angle (by the definition of parabola)，所以：
\begin{align*}
\angle PAB &= \angle PCB && \text{(proved)} \\
\angle PBA &= \angle PBC && \text{(proved)} \\
PB&=PB && \text{(common side)} \\
\triangle PAB &\cong \triangle PCB && \text{(A.A.S.)} \\
PA &= PC && \text{(corr. sides, ~}\triangle\text{s)}
\end{align*}
由我地既 tangent properties 可以知道 $PF=PA$，因此我地就知道 $PF=PC$，即即我地搵到 $\Pi$ （parabola $p$ 屬於既 plane）上面既一點 $F$ 同埋直線 $l$ 令到 parabola $p$ 上面既任何一點同 $F$ 以及同 $l$ equidistant，因此呢個就係 parabola 另一個 definition（當然實際上都要調轉再 prove 一次，但由於時間關係，你地都可以自己試下架）：
A parabola is a curve such that there exists a point $F$ and a line $l$ such that every point $P$ lying on the parabola is equidistant to $F$ and to $l$.
A parabola is a curve such that there exists a point $F$ and a line $l$ such that every point $P$ lying on the parabola is equidistant to $F$ and to $l$.
咁呢句又點樣帶番落我地平時既 quadratic graph 道啊？咁我地就要用 locus 既方法喇！頭先上面個句正正就係 locus 既句子黎。所以我地就可以 let $P=(x,y)$ 先，而我地就想個 $l$ 係 horizontal，所以我地就 set $P=(a,b)$ 同埋 $y=k$，where $k\neq b$, $a$, $b$ and $k$ are real constants。
\begin{align*}
\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}&=\sqrt{(x-x)^2+(y-k)^{2}} \\
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=(y-k)^{2} \\
(2b-2k)y&=(x-a)^{2}+b^{2}-k^{2} \\
y&=\frac{1}{2b-2k}\left(x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}-k^{2}\right) && (\because k\neq b)
\end{align*}
咁我地就出到條 parabola 喇！！！
但…… 點解我地叫 parabola 做拋物線既？咁我地就要用下 F.4 上學期既 mechanics 喇！
係 projectile motion (當然係 without air resistance 啦) 裡面，如果一個 object 由 $(0,0)$ 呢個 point 開始擲出，initial velocity 係 $u$，inclination 係 $\theta$，咁我地就有 \[ \begin{cases} x = ut \cos\theta \\ y = ut \sin\theta - \frac{1}{2} gt^{2}\end{cases}.\]
\begin{align*}
\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}&=\sqrt{(x-x)^2+(y-k)^{2}} \\
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=(y-k)^{2} \\
(2b-2k)y&=(x-a)^{2}+b^{2}-k^{2} \\
y&=\frac{1}{2b-2k}\left(x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}-k^{2}\right) && (\because k\neq b)
\end{align*}
咁我地就出到條 parabola 喇！！！
但…… 點解我地叫 parabola 做拋物線既？咁我地就要用下 F.4 上學期既 mechanics 喇！
係 projectile motion (當然係 without air resistance 啦) 裡面，如果一個 object 由 $(0,0)$ 呢個 point 開始擲出，initial velocity 係 $u$，inclination 係 $\theta$，咁我地就有 \[ \begin{cases} x = ut \cos\theta \\ y = ut \sin\theta - \frac{1}{2} gt^{2}\end{cases}.\]
由第一條 equation 可知，$t=\frac{x}{u\cos\theta}$，sub. 番落第二條式就見到 $y=x\tan\theta - \frac{gx^{2}}{2\cos ^{2}\theta}$，而因為 $g$、$u$ 同埋 $\theta$ 係拋左個 object 出去已經係 constant，所以 $y$ against $x$ 既 graph 就會係 parabola，所以 parabola 既中文名就係「拋物線」喇！
今日講到咁多，希望大家都會知道大家學緊既 parabola 其實係點黎啦~
2019年4月19日星期五
Maths Core / M1 / M2 Semi-mock Examination 7 for 2020 DSE
黎緊 5 月 26 日同埋 6 月 2 日就會舉行模擬考試喇！
Maths Core Mock：2019 年 5 月 26 日 08:45 - 13:00
M1 Mock：2019 年 6 月 2 日 08:45 - 11:30
M2 Mock：2019 年 6 月 2 日 08:45 - 11:30
試卷模式將會與 DSE 真卷一樣，不同的只是考試範圍。
模擬考試更設有多人、多科優惠！
在優悅教育報讀任何相應科目常規課程均可免費報考。
總科次 為 1：$150/科
總科次 為 2：$140/科
總科次 為 3 至 5：$120/科
總科次 為 6 至 10：$100/科
總科次 為 11 或以上：$80/科
【此費用已包括 試前練習、批改試卷、試卷詳解、整體表現報告 及 個人表現報告。】
即刻 click 入黎報名啦：
Maths Core Mock：2019 年 5 月 26 日 08:45 - 13:00
M1 Mock：2019 年 6 月 2 日 08:45 - 11:30
M2 Mock：2019 年 6 月 2 日 08:45 - 11:30
試卷模式將會與 DSE 真卷一樣，不同的只是考試範圍。
模擬考試更設有多人、多科優惠！
在優悅教育報讀任何相應科目常規課程均可免費報考。
總科次 為 1：$150/科
總科次 為 2：$140/科
總科次 為 3 至 5：$120/科
總科次 為 6 至 10：$100/科
總科次 為 11 或以上：$80/科
【此費用已包括 試前練習、批改試卷、試卷詳解、整體表現報告 及 個人表現報告。】
即刻 click 入黎報名啦：
2019年4月9日星期二
2019 DSE Suggested Solutions
2019 DSE Maths 終於過左喇，如果大家想睇下答案都可以睇下以下既 suggested solutions 架！
【Updated on 28/4/2019】 當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
【Updated on 28/4/2019】 當然唔少得 M1 同埋 M2 啦！
訂閱：
文章 (Atom)